Question

2．已知函数$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{3}}）-cos（{2x+\frac{π}{6}}）-\sqrt{3}$cos2x，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，B为锐角且f（B）=$\sqrt{3}，AC=\sqrt{3}$，△ABC周长为3$\sqrt{3}$，求AB，AC．

Answer 1

分析 （I）使用两角和差的三角函数公式化简f（x），根据正弦函数的单调区间列出不等式解出；
（II）求出B，利用余弦定理列方程得出．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=si2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，解得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}$，
∴f（x）的单调递增区间为$[{kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}}]\;（{k∈Z}）$．
（Ⅱ）∵$f（B）=\sqrt{3}$，∴$sin（{2B-\frac{π}{3}}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
∵$0＜B＜\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{3}＜2B-\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，
∴$2B-\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$，∴$B=\frac{π}{3}$．
∴$cosB=\frac{{A{B^2}+B{C^2}-A{C^2}}}{2AB•BC}=\frac{1}{2}$，
又 $AC=\sqrt{3}$，△ABC的周长为$3\sqrt{3}$．
∴$AB+BC=2\sqrt{3}$，AB•BC=3，
解得$AB=\sqrt{3}$，$BC=\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，余弦定理，属于中档题．