Question

14．已知公比不等于1的等比数列{a_n}，满足：a₃=3，S₃=9，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂$\frac{3}{a_{2n+3}}$，若c_n=$\frac{4}{b_n•b_{n+1}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，从而得方程3（1+$\frac{1}{q}$+$\frac{1}{{q}^{2}}$）=9，从而解得；
（Ⅱ）化简a_2n+3=3•$\frac{1}{{2}^{2n}}$，从而可得c_n=$\frac{4}{b_n•b_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，从而求和．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，
则有3（1+$\frac{1}{q}$+$\frac{1}{{q}^{2}}$）=9，
解得，q=1（舍去）或q=-$\frac{1}{2}$，
故a_n=3•（-$\frac{1}{2}$）^n-3；
（Ⅱ）a_2n+3=3•$\frac{1}{{2}^{2n}}$，
故b_n=log₂$\frac{3}{a_{2n+3}}$=2n，
故c_n=$\frac{4}{b_n•b_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的应用，同时考查了对数运算的应用及裂项求和法的应用．