Question

3．已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=6，且数列{a_n-1-a_n}{n∈N^*}是公差为2的等差数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为S_n，求满足不等式S_n＞$\frac{2015}{2016}$的n的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式及其“累加求和”方法即可得出；
（II）利用“裂项求和”方法、不等式的解法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）数列$\left\{{{a_{n+1}}-{a_n}}\right\}（n∈{N^*}）$是首项为a₂-a₁=4，公差为2的等差数列，
∴a_n+1-a_n=4+2（n-1）=2n+2（n∈N^*）．
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=2+4+6+…+2n=n²+n．
（Ⅱ）$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{{{n^2}+n}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${S_n}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$，
由${S_n}＞\frac{2015}{2016}$得$\frac{n}{n+1}＞\frac{2015}{2016}$，n＞2015，
又n∈N^*，故n的最小值为2016．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．