Question

8．已知函数f（x）=|x|-|2x-1|，记f（x）＞-1的解集为M．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）已知a∈M，比较a²-a+1与$\frac{1}{a}$的大小．

Answer 1

分析 （I）f（x）=|x|-|2x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，x≤0}\\{3x-1，0＜x＜\frac{1}{2}}\\{-x+1，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，由f（x，由f（x）＞-1，可得：$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{x-1＞-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜\frac{1}{2}}\\{3x-1＞-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{-x+1＞-1}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：0＜a＜2，可得：a²-a+1-$\frac{1}{a}$=$\frac{（a-1）（{a}^{2}+1）}{a}$=g（a）．对a分类讨论：当0＜a＜1时，当a=1时，当1＜a＜2时，即可得出．

解答 解：（I）f（x）=|x|-|2x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x-1，x≤0}\\{3x-1，0＜x＜\frac{1}{2}}\\{-x+1，x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，由f（x）＞-1，可得：$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{x-1＞-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜\frac{1}{2}}\\{3x-1＞-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{-x+1＞-1}\end{array}\right.$，
解得0＜x＜2，∴M=（0，2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：0＜a＜2，∵a²-a+1-$\frac{1}{a}$=$\frac{（a-1）（{a}^{2}+1）}{a}$=g（a）．
当0＜a＜1时，g（a）＜0，∴a²-a+1＜$\frac{1}{a}$；
当a=1时，g（a）=0，∴a²-a+1=$\frac{1}{a}$；
当1＜a＜2时，g（a）＞0，∴a²-a+1＞$\frac{1}{a}$；
综上所述：当0＜a＜1时，∴a²-a+1＜$\frac{1}{a}$；
当a=1时，a²-a+1=$\frac{1}{a}$；
当1＜a＜2时，a²-a+1＞$\frac{1}{a}$．

点评 本题考查了不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．