Question

20．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°．若A，B两点相距130m，则塔的高度CD=10$\sqrt{39}$ m．

Answer 1

分析 根据方位角求出∠ADB，利用仰角的正切值得出AD，BD关系，在△ABD中使用余弦定理解出AD，BD，从而得出CD．

解答 解：作出平面ABD的方位图如图所示
由题意可知∠WAD=20°，∠EAD=40°，设∠ABE=θ，则∠WAB=θ，
∴∠DBA+∠DAB=40°-θ+20°+θ=60°，∴∠ABD=120°，
设BD=x，AD=y，则由余弦定理得AB²=x²+y²-2xycos∠ADB，
即16900=x²+y²+xy．
在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=$\frac{CD}{BD}=\frac{CD}{x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴CD=$\frac{\sqrt{3}x}{3}$，
在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}=\frac{CD}{y}=\sqrt{3}$，∴CD=$\sqrt{3}y$．
∴x=3y．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{16900={x}^{2}+{y}^{2}+xy}\\{x=3y}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=30\sqrt{13}}\\{y=10\sqrt{13}}\end{array}\right.$．
∴CD=$\sqrt{3}y$=10$\sqrt{39}$．
故答案为：10$\sqrt{39}$．

点评 本题考查了解三角形的实际应用，求出∠ADB及AD，BD的关系是解题关键．