Question

16．设锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为25，弦AB=48，AC=40，则cos∠BAC的值为$\frac{3}{5}$，$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OB}$$•\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OC}$$•\overrightarrow{OA}$=-877．

Answer 1

分析 根据正弦定理求出sin∠ACB，sin∠ABC，利用两角和的余弦公式解出cos∠BAC，使用二倍角公式计算三个圆心角的余弦，代入平面向量的数量积公式计算．

解答 解：由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{AC}{sin∠ABC}=50$，
∴sin∠ACB=$\frac{24}{25}$，sin∠ABC=$\frac{4}{5}$．
∵△ABC是锐角三角形，
∴cos∠ACB=$\frac{7}{25}$，cos∠ABC=$\frac{3}{5}$．
∴cos（∠ACB+∠ABC）=$\frac{7}{25}×\frac{3}{5}-\frac{24}{25}×\frac{4}{5}$=-$\frac{3}{5}$．
∴cos∠BAC=-cos（∠ACB+∠ABC）=$\frac{3}{5}$．
由二倍角公式得：cos∠AOB=cos2∠ACB=2cos²∠ACB-1=-$\frac{527}{625}$．
cos∠BOC=cos2∠BAC=2cos²∠BAC-1=-$\frac{7}{25}$．
cos∠AOC=cos2∠ABC=1-2sin²∠ABC=-$\frac{7}{25}$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=25×25×cos∠AOB=-527．
$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=25×25×cos∠BOC=-175，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=25×25×cos∠AOC=-175．
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OB}$$•\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OC}$$•\overrightarrow{OA}$=-527-175-175=-877．
故答案为：$\frac{3}{5}$，-877．

点评 本题考查了正弦定理，二倍角公式，平面向量的数量积运算，属于中档题．