Question

6．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆x²+y²-6x+5=0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 求得双曲线的方程的渐近线方程，求得圆的圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解方程可得a²=2b²，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
圆x²+y²-6x+5=0即为（x-3）²+y²=4，
圆心为（3，0），半径为2，
圆心到渐近线的距离为d=$\frac{|3b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
由弦长公式可得2=2$\sqrt{4-\frac{9{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
化简可得a²=2b²，
即有c²=a²+b²=$\frac{3}{2}$a²，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．