Question

15．已知函数f（x）=mx-$\frac{m}{x}$，g（x）=3lnx．
（1）当m=4时，求曲线f（x）=mx-$\frac{m}{x}$在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若x∈（1，$\sqrt{e}$]（e是自然对数的底数）时，不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程；
（2）由题意可得m（x-$\frac{1}{x}$）＜3lnx+3在（1，$\sqrt{e}$]恒成立，由1＜x≤$\sqrt{e}$时，3lnx+3∈（3，$\frac{9}{2}$]，x-$\frac{1}{x}$递增，可得值域为（0，$\frac{e-1}{\sqrt{e}}$]，运用分离参数，求得右边函数的最小值，注意运用导数，判断单调性，即可得到所求范围．

解答 解：（1）f（x）=4x-$\frac{4}{x}$的导数为f′（x）=4+$\frac{4}{{x}^{2}}$，
可得在点（2，f（2））处的切线斜率为k=4+1=5，
切点为（2，6），
可得切线的方程为y-6=5（x-2），即为y=5x-4；
（2）x∈（1，$\sqrt{e}$]时，不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，
即为m（x-$\frac{1}{x}$）＜3lnx+3在（1，$\sqrt{e}$]恒成立，
由1＜x≤$\sqrt{e}$时，3lnx+3∈（3，$\frac{9}{2}$]，x-$\frac{1}{x}$递增，可得值域为（0，$\frac{e-1}{\sqrt{e}}$]，
即有m＜$\frac{3（xlnx+x）}{{x}^{2}-1}$的最小值，
由h（x）=$\frac{3（xlnx+x）}{{x}^{2}-1}$的导数为h′（x）=$\frac{3（-2-lnx-{x}^{2}lnx）}{（{x}^{2}-1）^{2}}$，
可得1＜x≤$\sqrt{e}$时，h′（x）＜0，h（x）递减，
可得x=$\sqrt{e}$时，h（x）取得最小值，且为$\frac{9\sqrt{e}}{2（e-1）}$．
可得m＜$\frac{9\sqrt{e}}{2（e-1）}$．
则m的范围是（-∞，$\frac{9\sqrt{e}}{2（e-1）}$）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，注意运用导数的几何意义，考查不等式恒成立问题的解法，注意转化思想，运用单调性求得值域，考查化简整理的运算能力，属于中档题．