Question

19．在公差为d的等差数列{a_n}中，已知a₁=3，2a₂+2，12a₃成等比数列．
（1）求d及{a_n}通项公式；
（2）若d＜0，b_n=n•（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比中项的性质计算可知公差d=-1或d=11，进而可得结论；
（2）通过（1）可知b_n=n•2^n-4，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵a₁=3，2a₂+2，12a₃成等比数列，
∴12a₁a₃=$（2{a}_{2}+2）^{2}$，
整理得：d²-10d-11=0，
解得：d=-1或d=11，
故a_n=4-n或a_n=11n-8；
（2）由（1）可知a_n=4-n，则b_n=n•（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$=n•2^n-4，
∴S_n=2^-3+2•2^-2+3•2^-1+…+n•2^n-4，
2S_n=2^-2+2•2^-1+…+（n-1）•2^n-4+n•2^n-3，
两式相减得：-S_n=2^-3+2^-2+2^-1+…+2^n-4-n•2^n-3
=$\frac{{2}^{-3}（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2^n-3
=$\frac{{2}^{n}-1}{8}$-n•2^n-3，
∴S_n=（n-1）•2^n-3+$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．