Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（$\sqrt{{a}_{n}}$，S_n）在曲线y=2x²-2上．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{lo{g}_{4}{a}_{n}•lo{g}_{4}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=2a_n-2与S_n-1=2a_n-1-2（n≥2）作差，进而可得数列{a_n}是首项、公比均为2的等比数列；
（2）通过（1）裂项可知b_n=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），进而并项相加即得结论．

解答 （1）证明：依题意，S_n=2a_n-2，
∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2），
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1，
又∵a₁=2a₁-2，即a₁=2，
∴数列{a_n}是首项、公比均为2的等比数列；
（2）解：由（1）可知a_n=2ⁿ，
∴b_n=$\frac{1}{lo{g}_{4}{a}_{n}•lo{g}_{4}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{\frac{n}{2}•\frac{n+1}{2}}$=$\frac{4}{n（n+1）}$=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=4（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=4（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{4n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．