Question

9．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^{x-1}}+1，0≤x≤1\\{log_{\frac{1}{2}}}\frac{x}{4}，1＜x＜2\end{array}$，设f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为a_n（n∈N^*），且{a_n}的前n项和为S_n，则S_n=3（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）．

Answer 1

分析 通过题意当x∈[0，2）时f（x）的解析式可知f（x）在[0，2）上的最大值为a₁=2，进而利用函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），可知函数向右平移2个单位，最大值变为原来的$\frac{1}{3}$，计算即得结论．

解答 解：∵当x∈[0，2）时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^{x-1}}+1，0≤x≤1\\{log_{\frac{1}{2}}}\frac{x}{4}，1＜x＜2\end{array}$，
∴f（x）在[0，2）上的最大值为a₁=f（1）=2，
又∵函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），
∴f（x+2）=$\frac{1}{3}$f（x），即函数向右平移2个单位，最大值变为原来的$\frac{1}{3}$，
∴a_n=2•$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
∴S_n=2•$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$=3（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
故答案为：3（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）．

点评 本题考查数列的求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．