Question

1．已知F₁，F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的左、右焦点，且|F₁F₂|=2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF₂|=|F₁F₂|，则△PF₁F₂面积的最大值是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 利用双曲线的定义求得|PF₁|，作PF₁边上的高AF₂，由A为中点，可知AF₁的长度，进而利用勾股定理求得AF₂，运用基本不等式可得△PF₁F₂的面积的最大值．

解答 解：由题意可得|PF₂|=|F₁F₂|=2，
由双曲线的定义可得，|PF₁|-|PF₂|=2a，
即为|PF₁|=2+2a，
过F₂作AF₂⊥PF₁，垂足为A，
由等腰三角形的性质可得A为中点，
由勾股定理可得|AF₂|=$\sqrt{{2}^{2}-（1+a）^{2}}$，
即有△PF₁F₂面积为$\frac{1}{2}$|AF₂|•|PF₁|=$\frac{1}{2}$（2+2a）•$\sqrt{{2}^{2}-（1+a）^{2}}$
=$\sqrt{（1+a）^{2}}$•$\sqrt{{2}^{2}-（1+a）^{2}}$≤$\frac{（1+a）^{2}+4-（1+a）^{2}}{2}$=2，
当且仅当（1+a）²=4-（1+a）²，即a=$\sqrt{2}$-1时，取得等号．
则△PF₁F₂面积的最大值是2．
故选：C．

点评 本题考查双曲线方程的定义和方程及性质，考查三角形面积的最值的求法，注意运用勾股定理和基本不等式，属于中档题．