Question

10．已知数列{b_n}的前n项和${B_n}=\frac{{3{n^2}-n}}{2}$．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的通项${a_n}=[{b_n}+{（-1）^n}]•{2^n}$，求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系即可得出；
（II）${a_n}=[{b_n}+{（-1）^n}]•{2^n}$=（3n-2）•2ⁿ+（-1）ⁿ•2ⁿ．设数列{（3n-2）•2ⁿ}的前n项和为A_n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出；再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：：（I）∵数列{b_n}的前n项和${B_n}=\frac{{3{n^2}-n}}{2}$，∴b₁=B₁=$\frac{3-1}{2}$=1；
当n≥2时，b_n=B_n-B_n-1=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$-$\frac{3（n-1）^{2}-（n-1）}{2}$=3n-2，当n=1时也成立．
∴b_n=3n-2．
（II）${a_n}=[{b_n}+{（-1）^n}]•{2^n}$=（3n-2）•2ⁿ+（-1）ⁿ•2ⁿ．
设数列{（3n-2）•2ⁿ}的前n项和为A_n，
则A_n=2+4×2²+7×2³+…+（3n-2）•2ⁿ，
2A_n=2²+4×2³+…+（3n-5）•2ⁿ+（3n-2）•2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+3（2²+2³+…+2ⁿ）-（3n-2）•2ⁿ⁺¹=$3×\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-4-（3n-2）•2ⁿ⁺¹=（5-3n）•2ⁿ⁺¹-10，
∴A_n=（3n-5）•2ⁿ⁺¹+10．
数列{（-1）ⁿ•2ⁿ}的前n项和=$\frac{-2[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$=$-\frac{2}{3}$[1-（-2）ⁿ]．
∴数列{a_n}的前n项和T_n=（3n-5）•2ⁿ⁺¹+10$-\frac{2}{3}$[1-（-2）ⁿ]．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．