Question

18．已知边长为6的正三角形ABC，$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，AD与BE交点P，则$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PD}$的值为3．

Answer 1

分析 由题意作图辅助，从而可得点P是正三角形ABC的中心，从而可求平面向量的数量积．

解答 解：由题意作图如右图，
∵$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，
∴D，E分别为线段BC，AC的中点，
∴点P是正三角形ABC的中心，
∴|$\overrightarrow{PB}$|=$\frac{2}{3}$•|BE|=$\frac{2}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$•|AB|=2$\sqrt{3}$，
|$\overrightarrow{PD}$|=$\frac{1}{2}$|BP|=$\sqrt{3}$，
且∠BPD=$\frac{π}{3}$，
故$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PD}$=|$\overrightarrow{PB}$||$\overrightarrow{PD}$|cos$\frac{π}{3}$=6×$\frac{1}{2}$=3，
故答案为：3．

点评 本题考查了平面向量的应用及数形结合的思想应用．