Question

7．已知△ABC的三个角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．
（1）若sinA•cosB=sinC，试判断△ABC的形状；
（2）若A=$\frac{π}{3}$，求sin²B+sin²C的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意和和差角的三角函数以及三角形的边角关系可判△ABC为直角三角形；
（2）可由题意可得C=$\frac{2π}{3}$-B且B∈（0，$\frac{2π}{3}$），代入并由三角函数公式化简可得sin²B+sin²C=sin²B+sin²（$\frac{2π}{3}$-B）=1+$\frac{1}{2}$sin（2B-$\frac{π}{6}$），由B的范围和涉及函数的最值可得．

解答 解：（1）∵△ABC中，sinA•cosB=sinC，
∴sinA•cosB=sinC=sin（A+B）
∴sinA•cosB=sinAcosB+cosAsinB，
∴cosAsinB=0，在三角形中sinB＞0，
∴cosA=0，A=$\frac{π}{2}$，故△ABC为直角三角形；
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，∴C=$\frac{2π}{3}$-B，∴B∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴sin²B+sin²C=sin²B+sin²（$\frac{2π}{3}$-B）
=sin²B+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB）²
=sin²B+$\frac{3}{4}$cos²B+$\frac{1}{4}$sin²B+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinBcosB
=$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{2}$sin²B+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinBcosB
=$\frac{3}{4}$+$\frac{1-cos2B}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2B
=1+$\frac{1}{2}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），∴2B-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴sin（2B-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
∴$\frac{1}{2}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，
∴1+$\frac{1}{2}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$]，
∴sin²B+sin²C的取值范围为（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$]

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角形形状的判定和三角函数的最值，属中档题．