Question

15．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-1，x≤0\\ f（x-1）+1，x＞0\end{array}\right.$设方程f（x）=x在区间（0，n]内所有实根的和为s_n．则数列$\left\{{\frac{1}{s_n}}\right\}$的前n项和T_n=$\frac{2n}{n+1}$．

Answer 1

分析 通过函数解析式，结合导数知识可知f（x）=x在（-1，0]上只有x=0一个实根，当x＞0时，在（k-1，k]上，f（x）=x只有x=k一个实根，进而可知S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，裂项可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并项相加即得结论．

解答 解：由于当x∈（-1，0]时，有（f（x）-x）′=2^xlnx-1＜0，
则f（x）-x在（-1，0]上单调递减，
故f（x）=x在（-1，0]上只有x=0一个实根；
当x＞0时，f（x）=f（x-1）+1，则在（k-1，k]上，f（x）=x只有x=k一个实根，
故f（x）=x在区间（0，n]内所有实根为1，2，3，…，n，且S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
则$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
故T_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$，
故答案为：$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的求和，涉及导数、等差数列的求和、裂项相消法求和等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．