Question

3．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tant}\\{y=1+ktant}\end{array}\right.$（t为参数，t≠nπ+$\frac{π}{2}$，n∈Z），以O为原点，Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcos²θ+4cosθ．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l和曲线C相切，求实数k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直线的参数方程之间求解直线l的普通方程，利用曲线的极坐标方程之间求解曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）通过直线l和曲线C相切，联立方程组，利用判别式为0，即可求实数k的值．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{x=tant}\\{y=1+ktant}\end{array}\right.$得直线l的普通方程为y=kx+1…（2分）
由ρ=ρcos²θ+4cosθ得ρ²=ρ²cos²θ+4ρcosθ即：x²+y²=x²+4x，
y²=4x，曲线C的直角坐标方程为：y²=4x…（4分）
（Ⅱ）把y=kx+1代入y²=4x，得k²x²+（2k-4）x+1=0，
由△=（2k-4）²-4k²=0…（6分）
解得k=1…（7分）

点评 本题考查参数方程以及极坐标方程与普通方程的互化，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．