Question

16．已知集合A={f（x）|f（x）=xlnx+a}和B={h（x）|h（x）=-x²-$\frac{4}{\sqrt{e}}$x-$\frac{5}{e}$}的交集有且只有2个子集．
（1）求实数a的值；
（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x²-1）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，两集合的交集中只含有一个元素，根据导数求出函数f（x）的最小值，根据二次函数求出h（x）的最大值，问题的得以解决，
（2）由题意xlnx≤m（x²-1）恒成立，即lnx≤m（x-$\frac{1}{x}$），分x=1时，当x＞1时，分离参数m≥$\frac{lnx}{x-\frac{1}{x}}$，利用极限的思想求出函数的最小值．问题得以解决．

解答 解：（1）由题意，两集合的交集中只含有一个元素，
∵f'（x）=lnx+1，
∴f'（0）=0，
∴x=$\frac{1}{e}$，
∴当x＞$\frac{1}{e}$时，f'（x）＞0，
当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=$\frac{1}{e}$处取得极小值，也是最小值，
∴f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$+a，
∵h（x）=-x²-$\frac{4}{\sqrt{e}}$x-$\frac{5}{e}$=-（x+$\frac{2}{\sqrt{e}}$）²-$\frac{1}{e}$，
∴h（x）_max=h（-$\frac{2}{\sqrt{e}}$）=-$\frac{1}{e}$，
∴-$\frac{1}{e}$+a=-$\frac{1}{e}$，
∴a=0，
（2）对任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x²-1）恒成立，
即xlnx≤m（x²-1）恒成立，
∴lnx≤m（x-$\frac{1}{x}$），
当x=1时，0=0成立，
当x＞1时，x-$\frac{1}{x}$＞0，
∴m≥$\frac{lnx}{x-\frac{1}{x}}$，
设g（x）=$\frac{lnx}{x-\frac{1}{x}}$，
∴$\underset{lim}{n→1}$=$\frac{lnx}{x-\frac{1}{x}}$=$\underset{lim}{n→1}$=$\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
综上所述m≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的最值问题，以及恒成立的问题，利用导数和极限思想是关键，属于中档题．