Question

6．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点为F₁，F₂，P为椭圆C上一点，且PF₂⊥x轴，若△PF₁F₂的内切圆半径r=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{2}$，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由已知利用椭圆性质推导出$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}+2c-（2a-\frac{{b}^{2}}{a}）}{2}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{2}$，由此能求出椭圆C的离心率．

解答 解：∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点为F₁，F₂，P为椭圆C上一点，且PF₂⊥x轴，
∴|F₁F₂|=2c，|PF₂|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，|PF₁|=$2a-\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵△PF₁F₂的内切圆半径r=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{2}$，
∴$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}+2c-（2a-\frac{{b}^{2}}{a}）}{2}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{2}$，
整理，得a=2c，
∴椭圆C的离心率为e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．