Question

16．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），两个焦点分别是F₁，F₂，离心率e=$\sqrt{3}$，且焦点到渐近线的距离是$\sqrt{2}$，则双曲线的标准方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

Answer 1

分析 运用离心率公式和渐近线方程，结合点到直线的距离公式可得b，再由a，b，c的关系，得到a，进而得到双曲线的方程．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率e=$\sqrt{3}$，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，即c=$\sqrt{3}$a，
设焦点为（c，0），渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
则d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{bc}{c}$=b=$\sqrt{2}$，
又b²=c²-a²=2，c=$\sqrt{3}$a，
解得a²=1．
∴双曲线的方程为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
故答案为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的运用，属于基础题．