Question

4．求函数f（x）=sin⁶x+cos⁶x的最小正周期，并求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由三角函数恒等变换化简函数解析式，利用三角函数的周期性及其求法可求周期，由三角函数的图象和性质即可求得最大值和最小值．

解答 解：∵f（x）=sin⁶x+cos⁶x
=（sin²x+cos²x）（sin⁴x-sin²xcos²x+cos⁴x）
=（$\frac{1-cos2x}{2}$）²-$\frac{1-cos2x}{2}$$•\frac{1+cos2x}{2}$+（$\frac{1+cos2x}{2}$）²
=$\frac{3}{8}$cos4x+$\frac{5}{8}$．
∴最小正周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
∵cos4x∈[-1，1]，
∴f（x）=$\frac{3}{8}$cos4x+$\frac{5}{8}$的最大值为：1，最小值为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换，三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象和性质，属于基本知识的考查．