Question

14．设A₁，A₂，A₃，A₄，A₅是空间中给定的5个不同的点，则使$\sum_{k=1}^5{\overrightarrow{M{A_k}}}=\overrightarrow 0$成立的点M的个数有1个．

Answer 1

分析 分别设出A₁、A₂、A₃、A₄、A₅和M各点的坐标，得到向量$\overrightarrow{{MA}_{k}}$（k=1，2，3，4，5）的坐标，
根据加法的坐标运算代入题中的向量等式$\underset{\stackrel{5}{∑}}{k=1}$$\overrightarrow{{MA}_{k}}$=0，化简整理可得点M的坐标是唯一的．

解答 解：设A₁（x₁，y₁，z₁），A₂（x₂，y₂，z₂），A₃（x₃，y₃，z₃），
A₄（x₄，y₄，z₄），A₅（x₅，y₅，z₅）；
再设M（a，b，c），则可得$\overrightarrow{{MA}_{1}}$=（x₁-a，y₁-b，z₁-c），
$\overrightarrow{{MA}_{2}}$=（x₂-a，y₂-b，z₂-c），
$\overrightarrow{{MA}_{3}}$=（x₃-a，y₃-b，z₃-c），
$\overrightarrow{{MA}_{4}}$=（x₄-a，y₄-b，z₄-c），
$\overrightarrow{{MA}_{5}}$=（x₅-a，y₅-b，z₅-c），
∵$\underset{\stackrel{5}{∑}}{k=1}$$\overrightarrow{{MA}_{k}}$=$\overrightarrow{0}$成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}{+x}_{3}{+x}_{4}{+x}_{5}-5a=0}\\{{y}_{1}{+y}_{2}{+y}_{3}{+y}_{4}{+y}_{5}-5b=0}\\{{z}_{1}{+z}_{2}{+z}_{3}{+z}_{4}{+z}_{5}-5c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{5}{（x}_{1}{+x}_{2}{+x}_{3}{+x}_{4}{+x}_{5}）}\\{b=\frac{1}{5}{（y}_{1}{+y}_{2}{+y}_{3}{+y}_{4}{+y}_{5}）}\\{c=\frac{1}{5}{（z}_{1}{+z}_{2}{+z}_{3}{+z}_{4}{+z}_{5}）}\end{array}\right.$，
因此，存在唯一的点M，使$\underset{\stackrel{5}{∑}}{k=1}$$\overrightarrow{{MA}_{k}}$=$\overrightarrow{0}$成立．
故答案为：1．

点评 本题给出空间5个点，探索这5个点与点M构成的向量和为零向量的点的个数问题，着重考查了向量的线性运算及其几何意义的知识，是基础题目．