Question

2．P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=AB=m，若M，N分别在PA，BD上，且$\frac{PM}{PA}$=$\frac{BN}{BD}$=$\frac{1}{3}$，
（1）求证：MN∥平面PBC；
（2）求MN与PC所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）连结AC、BD，交于点O，连结PO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN∥平面PBC．
（2）利用向量法能求出MN与PC所成角．

解答 证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结PO，
∵P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=AB=m，
M，N分别在PA，BD上，且$\frac{PM}{PA}$=$\frac{BN}{BD}$=$\frac{1}{3}$，
∴OA、OB、OP两两垂直，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
A（$\frac{\sqrt{2}m}{2}$，0，0），P（0，0，$\frac{\sqrt{2}m}{2}$），M（$\frac{\sqrt{2}m}{6}$，0，$\frac{\sqrt{2}m}{3}$），N（0，$\frac{\sqrt{2}m}{6}$，0），B（0，$\frac{\sqrt{2}m}{2}$，0），C（-$\frac{\sqrt{2}m}{2}$，0，0），
$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{\sqrt{2}m}{6}$，$\frac{\sqrt{2}m}{6}$，-$\frac{\sqrt{2}m}{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（0，$\frac{\sqrt{2}m}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}m}{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（-$\frac{\sqrt{2}m}{2}$，0，-$\frac{\sqrt{2}m}{2}$），
设平面PBC的向量法$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\frac{\sqrt{2}m}{2}y-\frac{\sqrt{2}m}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-\frac{\sqrt{2}m}{2}x-\frac{\sqrt{2}m}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}$=$\frac{\sqrt{2}m}{6}+\frac{\sqrt{2}m}{6}-\frac{\sqrt{2}m}{3}$=0，MN?平面PBC，
∴MN∥平面PBC．
解：（2）设MN与PC所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{PC}|}{|\overrightarrow{MN}|•|\overrightarrow{PC}|}$=$\frac{\frac{{m}^{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}m}{3}•m}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=30°，
∴MN与PC所成角为30°．

点评 本题考查线面平证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．