Question

10．已知数列{a_n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S_n，满足S₅-2a₂=25，且a₁，a₄，a₁₃恰为等比数列{b_n}的前三项
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n是数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和，是否存在k∈N^*，使得等式1-2T_k=$\frac{1}{{b}_{k}}$成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}（5{a_1}+\frac{5×4}{2}d）-2（{{a_1}+d}）=25\\{（{{a_1}+3d}）^2}={a_1}（{{a_1}+12d}）\end{array}\right.$，
解得a₁=3，d=2，
∵b₁=a₁=3，b₂=a₄=9，
∴${b_n}={3^n}$．
（Ⅱ）由（I）可知：a_n=3+2（n-1）=2n+1．
$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{2n+1}）（{2n+3}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}[{（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+（{\frac{1}{5}-\frac{1}{7}}）+…+（{\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}）}]$=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}}）$，
∴$1-2{T_k}=\frac{2}{3}+\frac{1}{2k+3}$，$\left\{{\frac{1}{2k+3}}\right\}$单调递减，得$\frac{2}{3}＜1-2{T_k}≤\frac{13}{15}$，
而$\frac{1}{b_k}=\frac{1}{3^k}$$∈（0，\frac{1}{3}]$，
所以不存在k∈N^*，使得等式$1-2{T_k}=\frac{1}{b_k}$成立．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”与数列的单调性，属于中档题．