Question

7．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，E是BC中点，求异面直线DE与A₁C所成角的大小．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与A₁C所成角的大小．

解答 解正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，E是BC中点，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
D（0，0，0），E（$\frac{1}{2}$，1，0），A₁（1，0，1），C（0，1，0），
$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}，1，0$），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-1，1，-1），
设异面直线DE与A₁C所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{{A}_{1}C}|}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{{A}_{1}C}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$，
∴θ=arccos$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴异面直线DE与A₁C所成角的大小为arccos$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．