Question

16．在△ABC中，B=$\frac{π}{3}$，且边a，b，c成等比数列．则sinA•sinC的值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由条件得b²=ac，代入余弦定理得出a，c的关系，于是得出△ABC为等边三角形．

解答 解：∵a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，
∴a²+c²=2ac．
∴（a-c）²=a²+c²-2ac=0，
∴a=c，又B=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC是等边三角形，
∴A=B=C=$\frac{π}{3}$．
∴sinA•sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了等比中项的性质，余弦定理的应用，属于基础题．