Question

8．已知函数f（x）=-$\frac{1}{2}$ax²+（1+a）x-lnx（a∈R）．
（1）a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）-k（x+2）+2．若函数g（x）有两个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再分类讨论，判断函数的单调区间，
（2）根据函数g（x）有两个零点，运用函数的单调性和函数的零点存在定理，求得k的范围．

解答 解：（1）f（x）=-$\frac{1}{2}$ax²+（1+a）x-lnx（a∈R），x＞0，
∴f′（x）=-ax+（1+a）-$\frac{1}{x}$=-$\frac{a{x}^{2}-（a+1）x+1}{x}$=-$\frac{（ax-1）（x-1）}{x}$=-$\frac{（x-\frac{1}{a}）（x-1）}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=1或x=$\frac{1}{a}$，
当a=1时，f′（x）＜0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当a＞1时，令f′（x）＜0，解得0＜x＜$\frac{1}{a}$，或x＞1，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）和（1，+∞）上单调递减，
当0＜a＜1时，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，或x＞$\frac{1}{a}$
∴f（x）在（0，1）和（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减，
综上所述：当a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
当a＞1时，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）和（1，+∞）上单调递减，
当0＜a＜1时，f（x）在（0，1）和（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减．
（2）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）-k（x+2）+2=x（x-lnx）-k（x+2）+2，
∴g′（x）=2x-lnx-1-k，
令h（x）=2x-lnx-1-k，
∴h′（x）=2-$\frac{1}{x}$，令h′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
当x＞$\frac{1}{2}$时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
∴h（x）_min=h（$\frac{1}{2}$）=ln2-k，
当h（x）_min=ln2-k＜0时，
∴当k＞ln2时，函数g（x）有两个零点．
∴k的取值范围为（ln2，+∞）

点评 本题主要考查函数最值的求解，以及函数零点的应用，根据导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．