Question

6．在△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S．已知a²-（b-c）²=$\frac{4}{3}$S
（1）求sinA的值；
（2）设M=2sin²B-$\frac{5}{7}$cos（B-C），求M的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理和面积公式得出sinA和cosA的关系，利用同角三角函数的关系得出sinA；
（2）使用两角和的三角函数得出sinC，cosC，利用三角函数的恒等变换化简M，根据三角函数的性质得出M的最大值．

解答 解：（1）在△ABC中，∵a²-（b-c）²=$\frac{4}{3}$S，
∴a²-b²-c²+2bc=$\frac{2}{3}bcsinA$．
即b²+c²-a²=2bc（1-$\frac{1}{3}sinA$）．
∵b²+c²-a²=2bccosA，
∴1-$\frac{1}{3}sinA$=cosA，又sin²A+cos²A=1，
∴（1-$\frac{1}{3}$sinA）²+sin²A=1，解得sinA=$\frac{3}{5}$．
（2）由（1）知cosA=1-$\frac{1}{3}$sinA=$\frac{4}{5}$．
sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{3}{5}$cosB+$\frac{4}{5}$sinB，
cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=$\frac{3}{5}$sinB-$\frac{4}{5}$cosB．
∴M=2sin²B-$\frac{5}{7}$cosBcosC-$\frac{5}{7}$sinBsinC=2sin²B-$\frac{5}{7}$cosB（$\frac{3}{5}$sinB-$\frac{4}{5}$cosB）-$\frac{5}{7}$sinB（$\frac{3}{5}$cosB+$\frac{4}{5}$sinB）
=2sin²B-$\frac{3}{7}$sinBcoB+$\frac{4}{7}$cos²B-$\frac{3}{7}$sinBcoB-$\frac{4}{7}$sin²B
=1-$\frac{3}{7}cos2B$-$\frac{3}{7}sin2B$=1-$\frac{3\sqrt{2}}{7}$sin（2B+45°）．
∵A=37°，∴0°＜B＜143°，∴45°＜2B+45°＜331°，
∴当2B+45°=270°时，M取得最大值1+$\frac{3\sqrt{2}}{7}$．

点评 本题考查了余弦定理的应用，三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．