Question

12．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧棱AA₁垂直于底面ABC，∠$ABC=\frac{π}{2}$，AB=BC=AA₁=4，D为BC的中点．
（1）若E为棱CC₁的中点，求证：DE⊥A₁C
（2）若E为棱CC₁上异于端点的任意一点，当三棱锥C₁-ADE的体积为$\frac{8}{3}$时，求异面直线DE与AC₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE⊥A₁C．
（2）设C₁E=h，由（1）AB⊥平面B₁C₁BC，利用体积${V}_{{C}_{1}-ADB}$=${V}_{A-{C}_{1}DB}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×h×2×4$=$\frac{8}{3}$，可得DE∥BC₁，从而证明∠AC₁B即为异面直线DE与AC₁所成的角，结合∠ABC₁=$\frac{π}{2}$，从而可求cos∠AC₁B=$\frac{B{C}_{1}}{A{C}_{1}}$，即可计算求解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系
∵AB=BC=AA₁=4，D为BC的中点，E为棱CC₁的中点，
∴D（0，2，0），E（0，4，2），A₁（4，0，4），
C（0，4，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，2，2），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-4，4，-4），
∵$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=0+8-8=0，
∴DE⊥A₁C．
（2）设C₁E=h，由（1）A₁B₁⊥平面B₁C₁BC，AB∥A₁B₁，
∴AB⊥平面B₁C₁BC…（7分）
∴${V}_{{C}_{1}-ADB}$=${V}_{A-{C}_{1}DB}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×h×2×4$=$\frac{8}{3}$，…（8分）
解得：C₁E=h=2，…（9分）
∴DE∥BC₁，
∴∠AC₁B即为异面直线DE与AC₁所成的角…（10分）
又∵AB⊥平面B₁C₁BC，BC₁?平面B₁C₁BC，
∴∠ABC₁=$\frac{π}{2}$，…（11分）
∴cos∠AC₁B=$\frac{B{C}_{1}}{A{C}_{1}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴异面直线DE与AC₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查异面直线及其所成的角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．