Question

16．设F₁，F₂是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{m}=1$的两个焦点，点P在C上，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，若抛物线y²=16x的准线经过双曲线C的一个焦点，则|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|$•|\overrightarrow{P{F}_{2}}$|的值等于（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 6
• C． 14
• D． 16

Answer 1

分析 求得抛物线的准线方程x=-4，可得双曲线的c=4，由向量垂直的条件和勾股定理，可得PF₁²+PF₂²=F₁F₂²=4c²=64，①由双曲线的定义可得|PF₁-PF₂|=2a=6，②，运用平方相减即可得到所求值．

解答 解：抛物线y²=16x的准线为x=-4，
由题意可得双曲线的一个焦点为（-4，0），
即有c=4，
由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0可得PF₁⊥PF₂，
由勾股定理可得，PF₁²+PF₂²=F₁F₂²=4c²=64，①
由双曲线的定义可得|PF₁-PF₂|=2a=6，②
①-②²，可得2PF₁•PF₂=28，
即有|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|$•|\overrightarrow{P{F}_{2}}$|的值等于14．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量垂直的条件以及勾股定理，同时考查抛物线的方程和性质的运用，属于中档题．