Question

8．已知命题p：方程$\frac{x^2}{m-4}+\frac{y^2}{2m-2}=1$表示焦点在y轴上的双曲线，命题q：点（m，1）在椭圆$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$的内部；命题r：函数f（m）=log₂（m-a）的定义域；
（1）若p∧q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p是r的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：方程$\frac{x^2}{m-4}+\frac{y^2}{2m-2}=1$表示焦点在y轴上的双曲线，则$\left\{\begin{array}{l}{2m-2＞0}\\{m-4＜0}\end{array}\right.$，解得；命题q：点（m，1）在椭圆$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$的内部，则$\frac{{m}^{2}}{8}$+$\frac{1}{2}$＜1，解得m；命题r：函数f（m）=log₂（m-a）的定义域为（a，+∞）．
（1）若p∧q为真命题，则$\left\{\begin{array}{l}{1＜m＜4}\\{-2＜m＜2}\end{array}\right.$，解得m．
（2）p是r的充分不必要条件，可得a≤1．

解答 解：命题p：方程$\frac{x^2}{m-4}+\frac{y^2}{2m-2}=1$表示焦点在y轴上的双曲线，则$\left\{\begin{array}{l}{2m-2＞0}\\{m-4＜0}\end{array}\right.$，解得1＜m＜4；
命题q：点（m，1）在椭圆$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$的内部，则$\frac{{m}^{2}}{8}$+$\frac{1}{2}$＜1，解得：-2＜m＜2；
命题r：函数f（m）=log₂（m-a）的定义域为（a，+∞）．
（1）若p∧q为真命题，则$\left\{\begin{array}{l}{1＜m＜4}\\{-2＜m＜2}\end{array}\right.$，解得1＜m＜2．
∴实数m的取值范围为（1，2）．
（2）∵p是r的充分不必要条件，
∴∴a≤1．
∴实数a的取值范围是a≤1．

点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、函数的定义域、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．