Question

13．设函数f（x）=|x+1|-|2x-a|
（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）＜0
（Ⅱ）若a＞0，且对于任意的实数x，都有f（x）≤3，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将a=2代入，不等式两边平方，解出即可；（Ⅱ）通过讨论x的范围，得到f（x）的分段函数，求出f（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）a=2时，原不等式为：|x+1|-|2x-2|＜0，
即|x+1|＜|2x-2|，平方：（x+1）²＜（2x-2）²，
化简得：（3x-1）（x-3）＞0，解得：x＜$\frac{1}{3}$或x＞3，
故解集为：{x|x＜$\frac{1}{3}$或x＞3}；
（Ⅱ）∵a＞0，∴$\frac{a}{2}$＞0，
∴原函数可化为：
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x+1）+（2x-a），x≤-1}\\{（x+1）+（2x-a），-1＜x≤\frac{a}{2}}\\{（x+1）-（2x-a），x＞\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1-a，x≤-1}\\{3x+1-a，-1＜x≤\frac{a}{2}}\\{-x+1+a，x＞\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）_max=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{a}{2}$+1，
∴$\frac{a}{2}$+1≤3，解得：a≤4，
综上，a的范围是（0，4]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．