Question

4．如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？

Answer 1

分析 分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．设A（a，0），B（0，b）（0＜a＜1，0＜b＜1），求得直线AB的方程和圆的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，求得a，b的关系，再由两点的距离公式和基本不等式，解不等式可得AB的最小值，及此时A，B的位置．

解答 解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．
设A（a，0），B（0，b）（0＜a＜1，0＜b＜1），
则直线AB方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，即bx+ay-ab=0．
因为AB与圆C：（x-1）²+（y-1）²=1相切，所以$\frac{|b+a-ab|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=1，
化简得ab-2（a+b）+2=0，即ab=2（a+b）-2，
因此AB=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-2ab}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-4（a+b）+4}$
=$\sqrt{（a+b-2）^{2}}$，
因为0＜a＜1，0＜b＜1，所以0＜a+b＜2，
于是AB=2-（a+b）．
又ab=2（a+b）-2≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
解得0＜a+b≤4-2$\sqrt{2}$，或a+b≥4+2$\sqrt{2}$，
因为0＜a+b＜2，所以0＜a+b≤4-2$\sqrt{2}$，
所以AB=2-（a+b）≥2-（4-2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-2，
当且仅当a=b=2-$\sqrt{2}$时取等号，
所以AB最小值为2$\sqrt{2}$-2，此时a=b=2-$\sqrt{2}$．
答：当A，B两点离道路的交点都为2-$\sqrt{2}$（百米）时，小道AB最短．

点评 本题考查基本不等式在最值问题中的运用，同时考查直线和圆相切的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．