Question

9．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，O是AE的中点，以AE为折痕向上折起，使D为D′，且D′B=D′C．

（Ⅰ）求证：平面D′AE⊥平面ABCE；
（Ⅱ）求CD′与平面ABD′所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取BC中点F，连结OF，D′O，D′F，则BC⊥平面D′OF，于是BC⊥OD′，又OD′⊥AE，于是OD′⊥平面ABCE，故而平面D′AE⊥平面ABCE；
（II）以O为原点建立平面直角坐标系，求出平面ABD′的法向量$\overrightarrow{n}$，则CD′与平面ABD′所成角的正弦值等于|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{CD′}$＞|．

解答 解：（I取BC中点F，连结OF，D′O，D′F，则BC⊥OF，
∵D′B=D′C，∴BC⊥D′F
又∵OF?平面D′OF，D′F?平面D′OF，OF∩D′F=F，
∴BC⊥平面D′OF，∵D′O?平面D′OF，
∴BC⊥D′O，
∵DA=DE，即D′A=D′E，
∴D′O⊥AE，又∵AE?平面ABCE，BC?平面ABCE，AE与BC相交，
∴D′O⊥平面ABCE，∵D′O?平面D′AE
∴平面D′AE⊥平面ABCE．
（II）以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则A（1，-1，0），B（1，3，0），C（-1，3，0）．D′（0，0，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{D′A}$=（1，-1，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{D′B}$=（1，3，-$\sqrt{2}$）.$\overrightarrow{CD'}$=（-1，3，-$\sqrt{2}$）．
设平面ABD′的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{D'A}$，$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{D'B}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y-\sqrt{2}z=0}\\{x+3y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{2}$，得x=2，y=0，
∴$\overrightarrow{n}$=（2，0，$\sqrt{2}$）．|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{CD′}$|=2$\sqrt{3}$.$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD′}$=-4．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{CD′}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD′}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CD′}|}$=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴CD′与平面ABD′所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面角的求解方法，属于中档题．