Question

19．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别为AB、PC的中点，∠PDA=45°．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）取PD中点E，连结AE，NE，则可利用中位线定理和平行公理证明四边形AMNE是平行四边形，故而MN∥AE，从而MN∥平面PAD；
（2）由线面垂直的性质证明AE⊥平面PCD，又AE∥MN，故MN⊥平面PCD，从而平面PMC⊥平面PCD．

解答 证明：（1）取PD的中点E，连接AE，EN
∵N为PC中点，
∴EN为△PDC的中位线，
∴EN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，又∵CD$\stackrel{∥}{=}$AB，M为中点，
∴EN$\stackrel{∥}{=}$AM．∴四边形AMNE为平行四边形．
∴MN∥AE．
又∵MN?平面PAD，AE?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，AD?平面ABCD．
∴PA⊥CD，PA⊥AD．
∵CD⊥AD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD．
又∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE．
∵∠PDA=45°，E为PD中点，
∴AE⊥PD．又∵PD∩CD=D，
∴AE⊥平面PCD．
∵MN∥AE，
∴MN⊥平面PCD，
又∵MN?平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，线面垂直的性质，属于中档题．