Question

10．已知函数$f（x）=cos（{2x-\frac{π}{3}}）+2sin（{x-\frac{π}{4}}）sin（{x+\frac{π}{4}}）$．
（1）求函数y=f（x）在区间$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$上的最值；
（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足$c=\sqrt{3}$，f（C）=1，且sinB=2sinA，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）展开两角和与差的正弦、余弦，然后利用辅助角公式化积，结合x的范围求得函数的最值；
（2）由f（C）=1求得C值，再由正弦定理把已知等式化角为边，结合余弦定理求得a、b的值．

解答 解：（1）∵$f（x）=cos（{2x-\frac{π}{3}}）+2sin（{x-\frac{π}{4}}）sin（{x+\frac{π}{4}}）$
=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）$
=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$+sin²x-cos²x
=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-cos2x$
=$sin（2x-\frac{π}{6}）$．
∵$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，∴2x-$\frac{π}{6}$$∈[-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$，
∴f（x）在2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$，即x=-$\frac{π}{12}$时，取最小值$-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
在2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，即x=$\frac{π}{3}$时，取最大值1；
（2）f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜C＜π，0＜2C＜2π，
∴$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，则$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{3}$．
∵sinB=2sinA，
∴由正弦定理得：b=2a，①
由余弦定理得：${c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}-2ab•cos\frac{π}{3}$，
即c²=a²+b²-ab=3，②
解①②得：a=1，b=2．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了三角函数中的恒等变换应用，是中档题．