Question

2．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边长，b和c是关于x的方程x²-9x+25cosA=0的两个根（b＞c），且$（{sinB+sinC+sinA}）（{sinB+sinC-sinA}）=\frac{18}{5}sinBsinC$，则△ABC的形状为（　　）

• A． 等腰三角形
• B． 锐角三角形
• C． 直角三角形
• D． 钝角三角形

Answer 1

分析 由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=$\frac{18}{5}$sinBsinC，利用正弦定理可得b²+c²-a²=$\frac{8}{5}$bc，进而利用余弦定理求cosA，从而可求sinA的值，由方程x²-9x+25cosA=0，可得x²-9x+20=0，从而b，c，利用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=9，可求得a，直接判断三角形的形状即可．

解答 （本题满分为12分）
解：由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=$\frac{18}{5}$sinBsinC，
∴sin²B+sin²C-sin²A=$\frac{8}{5}$sinBsinC，
由正弦定理：∴b²+c²-a²=$\frac{8}{5}$bc，…（2分）
由余弦定理cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4}{5}$，…（3分）
∴sinA=$\frac{3}{5}$，…（4分）
又∵由（1）方程x²-9x+25cosA=0即x²-9x+20=0，则b=5，c=4，…（6分）
∴a²=b²+c²-2bccosA=9，∴a=3，…（8分）
∴b²=c²+a²，三角形是直角三角形…（12分）

点评 本题以三角函数为载体，考查学生灵活运用余弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．