Question

14．已知M点是△ABC的重心，若以AB为直径的圆恰好经过点M，则$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 首先根据三角形的重心性质及直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到CD=$\frac{3}{2}$AB，再应用余弦定理推出AC²+BC²=5AB²，将$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$应用三角恒等变换公式化简得$\frac{si{n}^{2}C}{sinAsinBcosC}$，然后运用正弦定理和余弦定理，结合前面的结论，即可求值得解．

解答 解：如图，连接CM，延长交AB于D，
由于M为重心，故D为中点，
∵AM⊥BM，∴DM=$\frac{1}{2}$AB，
由重心的性质得，CD=3DM，即CD=$\frac{3}{2}$AB，
由余弦定理得，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，
BC²=BD²+CD²-2BD•CD•cos∠BDC，
∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，
∴AC²+BC²=2AD²+2CD²，
∴AC²+BC²=$\frac{1}{2}$AB²+$\frac{9}{2}$AB²=5AB²，
∴$\frac{tanC}{tanA}$+$\frac{tanC}{tanB}$=$\frac{sinC（cosAsinB+cosBsinA）}{sinAsinBcosC}$=$\frac{si{n}^{2}C}{sinAsinBcosC}$=$\frac{A{B}^{2}}{BC•AC•cosC}$=$\frac{A{B}^{2}}{\frac{B{C}^{2}+A{C}^{2}-A{B}^{2}}{2}}$=$\frac{2A{B}^{2}}{5A{B}^{2}-A{B}^{2}}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查解三角形中的正弦定理与余弦定理及应用，考查三角恒等变换，三角形的重心的性质，考查运算能力，有一定的难度．