Question

3．已知正项递增等比数列{a_n}的首项为8，其前n项和记为S_n，且S₃-2S₂=-2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足${b_n}=2{log_{\frac{3}{2}}}（\frac{3}{16}{a_n}）+1$，其前n项和为T_n，试求数列$\left\{{\frac{1}{T_n}}\right\}$的前n项和B_n．

Answer 1

分析 （1）通过设a_n=8q^n-1（q＞1），代入S₃-2S₂=-2计算可知公比q=$\frac{3}{2}$，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知b_n=2n+1，利用等比数列、等差数列的求和公式计算可知T_n=n（n+2），进而裂项可知$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）依题意，a_n=8q^n-1（q＞1），
∵S₃-2S₂=-2，即（8+8q+8q²）-2（8+8q）=-2，
∴4q²-4q-3=0，
解得：q=$\frac{3}{2}$或q=-$\frac{1}{2}$（舍），
故数列{a_n}的通项公式a_n=8•$（\frac{3}{2}）^{n-1}$；
（2）由（1）可知${b_n}=2{log_{\frac{3}{2}}}（\frac{3}{16}{a_n}）+1$=2$lo{g}_{\frac{3}{2}}[\frac{3}{16}•8•（\frac{3}{2}）^{n-1}]$+1=2n+1，
故数列{b_n}的前n项和为T_n=2•$\frac{n（n+1）}{2}$+n=n（n+2），
∴$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴B_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．