Question

11．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且${a_1}=1，{a_n}=\frac{{2{S_n}^2}}{{2{S_n}-1}}（{n≥2}）$，则S₂₀₁₆=$\frac{1}{4031}$．

Answer 1

分析 ${a_1}=1，{a_n}=\frac{{2{S_n}^2}}{{2{S_n}-1}}（{n≥2}）$，可得（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2${S}_{n}^{2}$，化为：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵${a_1}=1，{a_n}=\frac{{2{S_n}^2}}{{2{S_n}-1}}（{n≥2}）$，
∴（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2${S}_{n}^{2}$，
化为：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为2．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1．
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．
则S₂₀₁₆=$\frac{1}{2×2016-1}$=$\frac{1}{4031}$．
故答案为：$\frac{1}{4031}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．