Question

6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足acosB+bcosA=2ccosC．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求c的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理及两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得sinC=2sinCcosC，可得$cosC=\frac{1}{2}$，从而解得C的值．
（Ⅱ）由三角形面积公式可得ab=8，由余弦定理可得c²≥2ab-2abcosC，从而可记得c的最小值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，…（2分）
∴sin（A+B）=2sinCcosC，
∴sinC=2sinCcosC，…（4分）
∴$cosC=\frac{1}{2}$，故C=60°；…（6分）
（Ⅱ）由已知$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab=2\sqrt{3}$，所以ab=8，…（8分）
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
∴c²≥2ab-2abcosC⇒c²≥8，…（10分）
∴$c≥2\sqrt{2}$（当且仅当a=b时取等号）．
∴c的最小值为$2\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理及两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式，余弦定理及基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．