Question

1．已知数列{a_n}的前n项和s_n，满足s_n=n（n-6），数列{b_n}满足${b_2}=3，{b_{n+1}}=3{b_n}（n∈{N^*}）$
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{c_n}满足${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}，n为奇数}\\{{b_n}，n为偶数}\end{array}}\right.$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1计算，进而可知a_n=2n-7；通过b_n+1=3b_n可知数列{b_n}为等比数列，利用b_n=b₂•3^n-2计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知c_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-7，}&{n为奇数}\\{{3}^{n-1}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$，进而分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=-5，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-7，
又∵当n=1时满足上式，
∴a_n=2n-7；
∵b_n+1=3b_n，b₂=3，
∴数列{b_n}为等比数列，
故其通项公式b_n=b₂•3^n-2=3^n-1；
（Ⅱ）由（I）可知c_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-7，}&{n为奇数}\\{{3}^{n-1}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$，
当n为偶数是，T_n=$\frac{\frac{n}{2}（-5+2n-9）}{2}$+$\frac{3（1-{9}^{\frac{n}{2}}）}{1-9}$
=$\frac{n（n-7）}{2}$+$\frac{3（{3}^{n}-1）}{8}$；
当n为奇数时，T_n=$\frac{\frac{n+1}{2}（-5+2n-7）}{2}$+$\frac{3（1-{9}^{\frac{n-1}{2}}）}{1-9}$
=$\frac{（n+1）（n-6）}{2}$+$\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{8}$；
综上所述，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（n+1）（n-6）}{2}+\frac{3（{3}^{n-1}-1）}{8}，}&{n为奇数}\\{\frac{n（n-7）}{2}+\frac{3（{3}^{n}-1）}{8}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．