Question

12．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，S₅=30，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=2ⁿ-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=（-1）ⁿ（a_nb_n+lnS_n），求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过记等差数列{a_n}的公差为d，利用等差数列的求和公式及a₁=2可知公差d=2，进而可知a_n=2n；通过T_n=2ⁿ-1与T_n-1=2^n-1-1（n≥2）作差，进而可知b_n=2^n-1；
（Ⅱ）通过（I）可知a_nb_n=n•2ⁿ，S_n=n（n+1），进而可知c_n=n（-2）ⁿ+（-1）ⁿ[lnn+ln（n+1）]，利用错位相减法计算可知数列{（-1）ⁿa_nb_n}的前n项和A_n=-$\frac{2}{9}$-$\frac{3n+1}{9}$•（-2）ⁿ⁺¹；通过分类讨论，结合并项相加法可知数列{（-1）ⁿlnS_n}的前n项和B_n=（-1）ⁿln（n+1），进而可得结论．

解答 解：（Ⅰ）记等差数列{a_n}的公差为d，
依题意，S₅=5a₁+$\frac{5（5-1）}{2}$d=30，
又∵a₁=2，
∴d=$\frac{30-10}{10}$=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n；
∵T_n=2ⁿ-1，
∴T_n-1=2^n-1-1（n≥2），
两式相减得：b_n=2^n-1，
又∵b₁=T₁=2¹-1=1满足上式，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（I）可知a_nb_n=n•2ⁿ，S_n=2•$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），
∴c_n=（-1）ⁿ（a_nb_n+lnS_n）=n（-2）ⁿ+（-1）ⁿ[lnn+ln（n+1）]，
记数列{（-1）ⁿa_nb_n}的前n项和为A_n，数列{（-1）ⁿlnS_n}的前n项和为B_n，
则A_n=1•（-2）¹+2•（-2）²+3•（-2）³+…+n•（-2）ⁿ，
-2A_n=1•（-2）²+2•（-2）³+…+（n-1）•（-2）ⁿ+n•（-2）ⁿ⁺¹，
错位相减得：3A_n=（-2）¹+（-2）²+（-2）³+…+（-2）ⁿ-n•（-2）ⁿ⁺¹
=$\frac{（-2）[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$-n•（-2）ⁿ⁺¹
=-$\frac{2}{3}$-$\frac{3n+1}{3}$•（-2）ⁿ⁺¹，
∴A_n=-$\frac{2}{9}$-$\frac{3n+1}{9}$•（-2）ⁿ⁺¹；
当n为偶数时，B_n=-（ln1+ln2）+（ln2+ln3）-（ln3+ln4）+…+[lnn+ln（n+1）]
=ln（n+1）-ln1
=ln（n+1），
当n为奇数时，B_n=-（ln1+ln2）+（ln2+ln3）-（ln3+ln4）+…-[lnn+ln（n+1）]
=-ln（n+1）-ln1
=-ln（n+1）；
综上可知：B_n=（-1）ⁿln（n+1），
∴数列{c_n}的前n项和A_n+B_n=（-1）ⁿln（n+1）-$\frac{2}{9}$-$\frac{3n+1}{9}$•（-2）ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．