Question

3．已知圆（x-m）²+y²=4上存在两点关于直线x-y-2=0对称，若离心率为$\sqrt{2}$的双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 由圆的对称性可得圆心在直线x-y-2=0，可得m=2，由离心率公式及a，b，c的关系，可得a=b，求得渐近线方程，代入圆的方程解得交点，由三角形的面积公式即可得到所求值．

解答 解：圆（x-m）²+y²=4上存在两点关于直线x-y-2=0对称，
可得直线x-y-2=0经过圆心（m，0），可得m=2，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²+b²=c²，可得a=b，
即有双曲线的渐近线方程为y=±x，
将直线y=±x代入圆的方程（x-2）²+y²=4，
解得交点为（0，0），（2，-2），（2，2），
可得围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}$×2×4=4．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线的方程的求法，同时考查直线和圆相交，及圆的对称性，考查运算能力，属于中档题．