Question

4．如图，在四边形ABCD中，BC=1，DC=2，四个内角A，B，C，D的度数之比为3：7：4：10．求：
（1）BD的长；
（2）AB的长．

Answer 1

分析 根据四边形的内角和求出四个角的度数，在△BCD中使用余弦定理得出BD，在△ABD中使用正弦定理解出AB．

解答 解：∵A+B+C+D=360°，A：B：C：D=3：7：4：10．
∴A=45°，B=105°，C=60°，D=150°．
（1）连结BD，在△BCD中，由余弦定理得BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cosC=3，
∴BD=$\sqrt{3}$．
（2）在△BCD中，由正弦定理得$\frac{BC}{sin∠BDC}=\frac{BD}{sinC}$，即$\frac{1}{sin∠BDC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
解得sin∠BDC=$\frac{1}{2}$，∴∠BDC=30°，
∴∠ADB=150°-30°=120°．
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{BD}{sinA}$，即$\frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
解得AB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 把你考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．