Question

19．利用函数周期性的定义求证函数f（x）=$\sqrt{1-cos2x}$+$\sqrt{1+cos2x}$的周期为$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根据条件可得f（x+$\frac{π}{2}$）=f（x）；当0＜t＜$\frac{π}{2}$时，f（x+t）=f（x）不会恒成立，从而得出结论．

解答 证明：∵f（x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{1-cos2（x+\frac{π}{2}）}$+$\sqrt{1+cos2（x+\frac{π}{2}）}$=$\sqrt{1+cos2x}$-$\sqrt{1-cos2x}$=f（x），
故$\frac{π}{2}$是函数f（x）=$\sqrt{1-cos2x}$+$\sqrt{1+cos2x}$的周期．
当0＜t＜$\frac{π}{2}$时，f（x+t）=f（x）不会恒成立，
故$\frac{π}{2}$是函数f（x）=$\sqrt{1-cos2x}$+$\sqrt{1+cos2x}$的最小正周期．

点评 本题主要考查诱导公式，周期函数的定义，属于基础题．