Question

10．（1）计算$\frac{2{A}_{8}^{5}+7{A}_{8}^{4}}{{A}_{8}^{8}-{A}_{9}^{5}}$
（2）求证：A${\;}_{n+1}^{m}$=mA${\;}_{n}^{m-1}$+A${\;}_{n}^{m}$．

Answer 1

分析 （1）根据排列数的公式进行化简、计算即可；
（2）利用排列数的公式进行证明即可．

解答 解：（1）$\frac{2{A}_{8}^{5}+7{A}_{8}^{4}}{{A}_{8}^{8}-{A}_{9}^{5}}$=$\frac{2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5}{8×7×6×5×4×3×2×1-9×8×7×6×5}$
=$\frac{2×4-7}{4×3×2×1-9}$
=$\frac{1}{15}$；
（2）证明：∵A${\;}_{n+1}^{m}$=$\frac{（n+1）!}{（n-m+1）!}$，
mA${\;}_{n}^{m-1}$+A${\;}_{n}^{m}$=$\frac{m•n!}{（n-m+1）!}$+$\frac{n!}{（n-m）!}$
=$\frac{m•n!+（n-m+1）•n!}{（n-m+1）!}$
=$\frac{（n+1）!}{（n-m+1）!}$，
∴${A}_{n+1}^{m}$=m${A}_{n}^{m-1}$+${A}_{n}^{m}$．

点评 本题考查了排列数公式的应用问题，也考查了计算能力与逻辑推论能力的应用问题，是基础题目．