Question

5．如图，一艘船现在灯塔C北偏东75°的点A且AC=3海里，当船航行了$\sqrt{21}$海里后到达点B，若点B在灯塔C西偏北15°方向上，则B，C两点的距离为$\sqrt{3}$海里．

Answer 1

分析 使用正弦定理解出sinB，根据内角和定理得出sinA，再次使用正弦定理解出BC．

解答 解：由题意知∠ACB=75°+75°=150°，AC=3，AB=$\sqrt{21}$．
由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{AC}{sinB}$，即$\frac{\sqrt{21}}{sin150°}=\frac{3}{sinB}$，解得sinB=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$．
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．
由正弦定理得$\frac{BC}{sinA}=\frac{AB}{sin∠ACB}$，即$\frac{BC}{\frac{\sqrt{7}}{14}}=\frac{\sqrt{21}}{\frac{1}{2}}$，解得BC=$\sqrt{3}$．
故答案为$\sqrt{3}$海里．

点评 本题考查了正弦定理在解三角形的应用，属于中档题．