Question

16．求数列$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$，$\frac{1}{\sqrt{2}+2}$，…，$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}$，…的前n项和S_n．

Answer 1

分析 通过分母有理化、裂项可知$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{n+2}$-$\sqrt{n}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：∵$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}$=$\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n}+\sqrt{n+2}）（\sqrt{n+2}-\sqrt{n}）}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{n+2}$-$\sqrt{n}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{4}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{n+2}$-$\sqrt{n}$）
=$\frac{1}{2}$（-1-$\sqrt{2}$+$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n+2}$）．

点评 本题考查数列的求和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．