Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{a（1{-q}^{n}）}{1-q}$（a≠0，q≠0，q≠1）．
（I）求证：数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）若数列{a_n}从第三项起，后一项是前两项的等差中项，求q的值．

Answer 1

分析 （I）通过S_n=$\frac{a（1{-q}^{n}）}{1-q}$，分n=1，n≥2两种情况计算出通项公式，进而可得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知2a_n+2=a_n+a_n+1，进而代入计算即可．

解答 （I）证明：依题意，当n=1时，a₁=a，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{a（1-{q}^{n}）}{1-q}$-$\frac{a（1-{q}^{n-1}）}{1-q}$=$\frac{a-a•{q}^{n}-a+a•{q}^{n-1}}{1-q}$=a•q^n-1，
∴数列{a_n}是首项为a、公比为q的等比数列；
（Ⅱ）解：由（I）可知2a_n+2=a_n+a_n+1，
即2a•qⁿ⁺¹=a•q^n-1+a•qⁿ，整理得：2q²=1+q，
解得：q=-$\frac{1}{2}$或q=1（舍）．

点评 本题考查等比数列的证明，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．